$x^y=y^x,x=2y(x\ne 0,y\ne 0)$ হলে,(x,y) = কত?

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে:

১. \(x^y = y^x\)

২. \(x = 2y\)

আমরা সমীকরণ (২) থেকে \(x\) এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই:

\((2y)^y = y^{2y}\)

\(2^y \cdot y^y = y^{2y}\)

উভয় পক্ষকে \(y^y\) দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু প্রশ্নানুযায়ী \(y \neq 0\)):

\(2^y = \frac{y^{2y}}{y^y}\)

\(2^y = y^{(2y-y)}\)

\(2^y = y^y\)

এই সমীকরণটি সমাধানের জন্য, আমরা দেখতে পারি যে যদি \(y=2\) হয়, তাহলে সমীকরণটি সত্য হয়:

\(2^2 = 2^2\)

\(4 = 4\)

সুতরাং, \(y = 2\)।

এখন, \(y\) এর মান সমীকরণ (২) এ বসিয়ে \(x\) এর মান বের করি:

\(x = 2y\)

\(x = 2 \times 2\)

\(x = 4\)

অতএব, \((x,y) = (4,2)\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক (অপশন যাচাই):

দেওয়া আছে: \(x^y = y^x\) এবং \(x = 2y\)

আমরা অপশনগুলো যাচাই করে দেখতে পারি যে কোন অপশনটি উভয় শর্ত পূরণ করে:

• অপশন ১: (8,4)
  এখানে \(x=8, y=4\)।
  প্রথম শর্ত: \(x = 2y \Rightarrow 8 = 2 \times 4 \Rightarrow 8 = 8\) (সত্য)
  দ্বিতীয় শর্ত: \(x^y = y^x \Rightarrow 8^4 = 4^8\)
  \(8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}\)
  \(4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}\)
  \(2^{12} \neq 2^{16}\) (মিথ্যা)। সুতরাং, এটি সঠিক নয়।
• অপশন ২: (6,3)
  এখানে \(x=6, y=3\)।
  প্রথম শর্ত: \(x = 2y \Rightarrow 6 = 2 \times 3 \Rightarrow 6 = 6\) (সত্য)
  দ্বিতীয় শর্ত: \(x^y = y^x \Rightarrow 6^3 = 3^6\)
  \(6^3 = 216\)
  \(3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729\)
  \(216 \neq 729\) (মিথ্যা)। সুতরাং, এটি সঠিক নয়।
• অপশন ৩: (2,1)
  এখানে \(x=2, y=1\)।
  প্রথম শর্ত: \(x = 2y \Rightarrow 2 = 2 \times 1 \Rightarrow 2 = 2\) (সত্য)
  দ্বিতীয় শর্ত: \(x^y = y^x \Rightarrow 2^1 = 1^2\)
  \(2 = 1\) (মিথ্যা)। সুতরাং, এটি সঠিক নয়।
• অপশন ৪: (4,2)
  এখানে \(x=4, y=2\)।
  প্রথম শর্ত: \(x = 2y \Rightarrow 4 = 2 \times 2 \Rightarrow 4 = 4\) (সত্য)
  দ্বিতীয় শর্ত: \(x^y = y^x \Rightarrow 4^2 = 2^4\)
  \(16 = 16\) (সত্য)।
  যেহেতু উভয় শর্তই পূরণ হয়েছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।